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Volker Zota 191

Zahlen, bitte! Happy Pi-Day Update

Zahlen, bitte! Was Sie schon immer Pi wissen wollten, aber nie gewagt haben zu fragen

Am 14.3. feiert die englischsprechende Welt den Pi-Day. Da es bei uns weder einen 3.14. noch 31.4. gibt, feiern wir gerne mit und werfen einen genaueren Blick auf die Kreiszahl π.

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Die ersten Stellen der Kreiszahl π = 3,14... kennt fast jeder – und sei es nur, weil im Internet Fotos kursieren, die auf die enge Verknüpfung von π und Kuchen (englisch "Pie") hinweisen: Spiegelt man 3,14, ergibt sich mit etwas Fantasie das Wort PIE.

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Public Domain
Wer den Pi-Day gebührend feiern will, backt sich selbstverständlich einen Pi-Pie. (Bild: Public Domain )

Tatsächlich beschäftigte das Verhältnis des Kreisumfangs zu dessen Durchmesser die Menschen schon seit Jahrtausenden. Einerseits war der Kreis in vielen Kulturen ein Sinnbild für Vollkommenheit und die perfekte Ordnung. Aber es gab auch praktische Gründe, sich damit zu beschäftigen, etwa beim Bau von Silos oder der Herstellung von Wagenrädern. Dabei stellten sie fest, dass das konstante Verhältnis von Kreisumfang zum Durchmesser nur näherungsweise angegeben werden konnte.

Im altägyptischen Rechenbuch des Ahmes findet sich der Wert (16/9)2 ≈ 3,1605. Die Babylonier machten es sich hingegen leicht und verwendeten meist die Zahl 3. Dieser Wert finde sich auch in der Bibel bei der Beschreibung des Jerusalemer Tempels wieder. Für genauere Berechnungen verwendeten die Babylonier 3 + 1/8 = 3,125. Auch im alten China wurde mit der Näherung 3 gearbeitet, doch schon Jahrhunderte vor Christus verwendeten chinesische Astronomen die bessere Näherung 10 ≈ 3,16227766...

π ist irrational, lässt sich also nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen. Trotzdem gibt es Brüche, die die Kreiszal recht gut approximieren. Einer der bekanntesten ist

22/7 = 3,1428571428571428571428571428571...

Dieser Näherung hat π einen weiteren inoffiziellen Feiertag zu verdanken: Am 22.7. ist "Pi Approximation Day". Mit wachsender Stellenzahl ergeben sich deutlich noch deutlich bessere Näherungen:

333/106 = 3,1415094339622641509433962264151...
355/113 = 3,1415929203539823008849557522124...
103993/33102 = 3,1415926530119026040722614947737...
21053343141/6701487259 = 3,1415926535897932384623817427749... 

Der letzte Bruch stimmt immerhin bis auf 21 Nachkommastellen mit π überein, lässt sich aber auch nicht einfacher merken als die Nachkommastellen selbst.

Bitte Zahlen

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir jede Woche Dienstag verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft und der Mathematik selbst vor.

Um die möglichst genaue Berechnung von π gab es in den vergangenen Jahrhunderten einen regelrechten Wettstreit. Seit Erfindung des Computers ist die bekannte Zahl der Nachkommastellen explodiert: Aktuell ist π bis auf 22.459.157.718.361 respektive πe × 1012 (gerundet) Stellen bekannt. Die Berechnung mit Hilfe des "y-cruncher" dauerte 105 Tage und wurde am 11. November 2016 in dem pi2e-Projekt abgeschlossen. Alleine die Überprüfung des Ergebnisses mit Hilfe von Bellards Formel dauerte 28 Stunden. Wem 100.000.000 Stellen reichen, der kann zur Feier des Pi-Day heute die Kindle-Edition von "Pi: 100.000.000 Nachkommastellen" kostenlos herunterladen; bei Pibel.de gibt's immerhin 10.000.000 Stellen zum kostenlosen Ausdrucken ;-)

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Seit der Erfindung des Computers wächst die Zahl der bekannten Stellen von rasant.
Seit der Erfindung des Computers wächst die Zahl der bekannten Stellen der Kreiszahl rasant. (Bild:  Nageh (CC BY-SA 3.0) )

Müsste in der unendlichen Anzahl der Nachkommastellen von π nicht jede beliebige andere Zahl enthalten oder gar das ganze Weltwissen enthalten sein? Tatsächlich findet man in den ersten 100.000.000 Nachkommastellen zwar beliebige Ziffernfolgen mit bis zu fünf Ziffern, bei acht Ziffern liegt die Wahrscheinlichkeit jedoch nur noch bei 63 Prozent, bei 10 Ziffern laut "Probability of finding strings in Pi" sogar unter einem Prozent.

[Update:]Ob tatsächlich jede beliebige Zahlenfolge in π enthalten ist und sich somit auch beliebige Werke der Weltliteratur hineinkodieren ließen, hängt davon ab, ob π "normal" ist. Ob das der Fall ist, wurde unseres Wissens bisher aber für π nicht bewiesen. [/Update]

Vermutlich reicht es also nicht, sich π unters Kopfkissen zu legen und so alles Wissen der Welt zu erlernen.

Bleibt noch die Frage, warum π eigentlich π heißt? Zwar hat der berühmte Schweizer Mathematiker Leonhard Euler der Bezeichnung π im Jahr 1737 zum Durchbruch verholfen. Tatsächlich verwendete jedoch der englische Mathematiker William Oughtred π erstmals in der Ausgabe seiner "Clavis Mathematicae" von 1647. Allerdings beschrieb er damit den Kreisumfang – (Perimeter und daher vermutlich π) und nicht das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser; ihm verdanken wir übrigens auch die noch heute gebräuchlichen Zeichen "×" für Multiplikation, "/" für Division und "±" . Im Jahr 1706 nutzt der Waliser William Jones Pi erstmals in seiner noch heute gebräuchlichen Form in seinem Werk "Synopsis palmariorum mathesios". Apropos, Pi: Der Name des bekannten Einplatinen-Computerchens Raspberry Pi leitet sich nicht etwa von der Kreiszahl ab, sondern von PI wie "Python Interpreter", der nach der ursprünglichen Planung fest eingebaut werden sollte. (vza)

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